Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos.
Un sistema de numeración puede representarse como
donde:
es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).
es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.
son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana requiere reglas algo más elaboradas.
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.
Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema.
0,3125 (decimal) => 0,0101 (binario). Proceso: 0,3125 · 2 = 0,625 => 0 0,625 · 2 = 1,25 => 1 0,25 · 2 = 0,5 => 0 0,5 · 2 = 1 => 1 En orden: 0101 -> 0,0101 (binario)
Excepto en ciertas culturas, es el sistema de posición usado habitualmente en todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal. También pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal. Por ejemplo, cuando se cuentan artículos por docenas, o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos números; en francés, por ejemplo, el número 80 se expresa «quatre-vingt», «cuatro veintenas», en español.
Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar.
El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:
EJEMPLO
Los números decimales se pueden representar en la recta real.
2*(80) + 5*(81) + 4*(82) + 3*(83) + 3*(8-1) + 2*(8-2) = 2 + 40 + 4*64 + 64 + 3*512 + 3*0.125 + 2*0.015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0.375 + 0.03125 = 1834 + 40625dentonces, 3452.32q = 1834.40625d
El subindice q indica número octal, se usa la letra q para evitar confusión entre la letra o y el número 0.
HEXADECIMAL
El sistema Hexadecimal (no confundir con sistema sexagesimal), a veces abreviado comoHex, es el sistema de numeración de base 16 —empleando por tanto 16 símbolos—. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues loscomputadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa 28 valores posibles, y esto puede representarse como
, que, según elteorema general de la numeración posicional, equivale al número en base 16 10016, dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente —permiten representar la misma línea de enteros— a un byte.0,06640625 en base decimal.
Multiplicado por 16: 1,0625, el primer decimal será 1. Volvemos a multiplicar por 16 la parte decimal del anterior resultado: 1. Por lo tanto el siguiente decimal será un 1.Resultado: 0,11 en base hexadecimal. Como el último resultado se trata de un entero, hemos acabado la conversión.
SISTEMA DE NUMERACION GRAY
Tenemos un vector a conteniendo los dígitos en gray y otro vector b destinado a contener los dígitos en Base 2
a0 es el dígito que se encuentra en el extremo izquerdo de la representación en código gray
b0 es el dígito de mayor peso y que se encuentra en el extremo izquerdo en la representación en Base 2
tenemos que: 
con la excepción de que bn − 1 = an − 1, la cual se puede resumir como: el dígito de más a la izquierda enBase 2 es igual al dígito de más a la izquierda en código gray
El primer bit empezando por la izquierda del digito del código gray se respetará para la conversión a base 2, el resultado es obtener el mismo bit para el dígito binario que el que tiene en gray, para conseguir el segundo bit del binario sumaremos el primer bit del dígito del sistema binario por el segundo del sistema gray, sin tener en cuenta los acarreos y respetando la tabla de suma para binarios: 0+0=0 ; 0+1=1 ; 1+0=1 ; 1+1=10
Ejemplo: Con el número 1001 Gray
El primero de base dos es igual al primero en gray que en este caso es ( 1 )
El segundo de base dos es igual a la suma del primero de base 2 con el segundo de gray en este caso es (1)+(0)= (1)
El tercero de base dos es igual a la suma del segundo de base2 con el tercero de gray en este caso es (1)+(0)= (1)
El cuarto de base dos es igual a la suma del tercero de base dos con el cuarto de gray es este caso es (1)+(1)=10 tomamos el cero del 10 descartando el acarreo por lo que tenemos (0)
Esto da como resultado 1110
SISTEMA DE NUMERACION BCD
El BCD (el binario decimal codificado) es una forma directa asignada a un equivalente binario. Es posible asignar cargas a los bits binarios de acuerdo a sus posiciones. Las cargas en el código BCD son 8, 4, 2, 1.
EJEMPLO
Para representar el digito decimal 6 en código BCD sería:.
0110
Ya que 0 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 ÷ 0+1 = 6.
Es posible asignar cargas negativas a un código decimal, tal como se muestra en el código 8, 4, -2, -1. En esta caso la combinación de bits 0110 se interpreta como el digito decimal 2, l obtenerse de 0 x 8 + 1 x 4 + 1 x (-2) + 0 x (-1)=2.
Un código decimal que se ha usado en algunos computadores viejos en el código de exceso a 3. Este último es un código sin carga, cuya asignación se obtiene del correspondiente valor en BCD una vez se haya sumado 3.
Los números se representan en computadores digitales en binario o decimal a través de un codigo binario. Cuando se estén especificando los datos, el usuario gusta dar los datos en forma decimal. Las maneras decimales recibidas se almacenan internamente en el computador por medio del código decimal. Cada digito decimal requiere por lo menos cuatro elementos de almacenamiento binario. Los números decimales ses convierten a binarios cuando las operaciones aritméticas se hacen internamente con números representados en binario. Es posible también realizar operaciones aritméticas directamente en decimal con todos los números ya dejados en forma codificada. Por ejemplo, el número decimal 395, cuando se convierte aq binario es igual a 112221211 y consiste en nueve digitos binarios. El mismo número representado alternamente en BCD, ocupa cuatro bits para cada digito decimal para un total de 12 bits:001110010101.
ASCII (acrónimo inglés de American Standard Code for Information Interchange — Código Estadounidense Estándar para el Intercambio de Información), pronunciado generalmente [áski], es un código de caracteres basado en el alfabeto latino, tal como se usa en inglés moderno y en otras lenguas occidentales. Fue creado en 1963 por el Comité Estadounidense de Estándares (ASA, conocido desde 1969 como el Instituto Estadounidense de Estándares Nacionales, o ANSI) como una refundición o evolución de los conjuntos de códigos utilizados entonces en telegrafía. Más tarde, en 1967, se incluyeron las minúsculas, y se redefinieron algunos códigos de control para formar el código conocido como US-ASCII.
EJEMPLO
| Decimal | Binario | Hexadecimal | Octal | BCD | Exceso 3 | Gray o Reflejado |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0 | 0 | 0000 | 0011 | 0000 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 | 0001 | 0100 | 0001 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 | 0010 | 0101 | 0011 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 | 0011 | 0110 | 0010 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 | 0100 | 0111 | 0110 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 | 0101 | 1000 | 0111 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 | 0110 | 1001 | 0101 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 | 0111 | 1010 | 0100 |
| 8 | 1000 | 8 | 10 | 1000 | 1011 | 1100 |
| 9 | 1001 | 9 | 11 | 1001 | 1100 | 1101 |
| 10 | 1010 | A | 12 | 0001 0000 | 1111 | |
| 11 | 1011 | B | 13 | 0001 0001 | 1110 | |
| 12 | 1100 | C | 14 | 0001 0010 | 1010 | |
| 13 | 1101 | D | 15 | 0001 0011 | 1011 | |
| 14 | 1110 | E | 16 | 0001 0100 | 1001 | |
| 15 | 1111 | F | 17 | 0001 0101 | 1000 |
